本系列文章是以Vijay Kumar老师在coursera上的课程Robotics: Aerial Robotics为参考，进行归纳整理。
变分法
变分法是处理泛函的数学领域，它最终寻求的是泛函的极大值或极小值。变分法的关键定理是欧拉-拉格朗日方程，它可以帮助寻找泛函的极大值或极小值，但是不能确定极大值还是极小值。在四旋翼的路径规划中，泛函数我们可以定义为四旋翼从起点到终点的路径，其中可以包括起点和终点的速度，加速度，甚至加加速度等等的规划。它的公式如下，其中$x(t)$是路径方程，$\dot x(t)$是速度方程，想要对什么进行规划就可以将它写到泛函数里面。
考虑这样一个情况，在给定了一个起点和终点，以及起始状态和最后状态以后，我们可以规划出无数种路径，但是为了找到那个最优路径，我就就需要用到欧拉-拉格朗日方程。
欧拉-拉格朗日方程
平滑路径（n=1）
对于n=1的一阶系统，也就是说我想要一个最小的速度完成这个路径，那么它的泛函数可写为：$\mathcal L(\dot x,x,t)$。解的过程如下：
可以发现，最小速度的路径是一条直线，因为在起点，终点和时间确定的情况下最小速度完成的话肯定是直线。
平滑路径（general n）
- n=1，minimum velocity (最短路径)
- n=2，minimum acceleration
- n=3，minimum jerk
- n=4，minimum snap
Minimum Jerk Trajectory
jerk trajectory是3阶系统，也就是说我们需要定义起始点和终点的速度和加速度，解的过程如下：
扩展到多维空间（n=1）
Minimum Jerk for Planar Motions
中间点路径规划
接下来我们就可以将每段用之前的方法来进行路径规划，但是不可以用一阶系统，因为这样会导致在中间点处的路径变得不可导，如下图：
下面我们将用二阶系统来进行路径规划：
