本系列文章是以Vijay Kumar老师在coursera上的课程Robotics: Aerial Robotics为参考，进行归纳整理。
基础力学结构
电机物理性质
$\tau$与$w$的关系是电机本身的特性，当$\tau$到达与drag相交的那个点时，电机的转速达到最大，那么这个转速$w_0$对应的$F$就至少要大于等于1/4mg才能使飞机克服重力飞起来。阻力drag包括了电机的反电磁阻力和空气阻力等，并且它阻力大小与桨叶也有关。
基础力学（悬停）
受力分析如下图所示，$\mathbf {a_1}$，$\mathbf {a_2}$，$\mathbf {a_3}$为inertial frame，$\mathbf {b_1}$，$\mathbf {b_2}$，$\mathbf {b_3}$为body frame，$F$是电机产生的推力，$M$是电机产生的反力矩。
合外力为：
$$
\mathbf F=\mathbf F_1+\mathbf F_2+\mathbf F_3+\mathbf F_4-mg\mathbf a_3
$$
合力矩包括电机带动螺旋桨所产生的反力矩，这是yaw力矩，以及电机产生的向上的升力所产生的roll，pitch力矩。
$$
\mathbf M= \mathbf r_1\times \mathbf F_1 + \mathbf r_2\times \mathbf F_2 + \mathbf r_2\times \mathbf F_2 + \mathbf r_3\times \mathbf F_3 + \mathbf r_4\times \mathbf F_4 \\ + \mathbf M_1 + \mathbf M_2 + \mathbf M_3 + \mathbf M_4
$$
垂直方向加减速
动力学和一维线性控制
假设有一个UAV只可以上下移动，那么该如何控制它呢？
高度控制
垂直方向加减速方程式为：
$$
\sum_{i=1}^4 k_Fw_i^2+m\mathbf g=m\mathbf a \\
\mathbf a=\frac{d^2x}{dt^2}=\ddot x
$$
将加速度$\mathbf a$设为输入$u$，那么$u=\ddot x$，这是一个二阶系统，系统方程可写为：
$$
u=\frac {1}{m}[\sum_{i=1}^4 k_Fw_i^2+m\mathbf g]
$$
控制一个二阶线性系统
- 问题：
状态，输入：$x,u\in \mathbb R$
系统模型：$\ddot x=u$
想要$x$跟随设计的线路$x^{des}(t)$ - 方法：
定义误差$e(t)=x^{des}(t)-x(t)$
想要$e(t)$收敛到0 - 策略：
从下式中得到$u$:
$$
\begin{aligned}
&\ddot e+K_v\dot e+K_pe=0 \qquad K_p,K_v>0 \\
&(PD控制)u(t)=\ddot x^{dex}(t)+K_v\dot e(t)+K_pe(t) \\
&(PID控制)u(t)=\ddot x^{dex}(t)+K_v\dot e(t)+K_pe(t)+K_i\int_0^t e(\tau) d\tau
\end{aligned}
$$
在有干扰（比如风）以及系统建模的时候有错误时（比如有的质量不知道）就经常会用PID控制。
设计考量
在系统设计时我们需要考虑到系统的限制，比如最大推力，最大加速度，功率限制等等。那么，在有最大推力限制的情况下，系统控制方程如下所示：
机动性
判断四旋翼的机动性有两个方面，一方面是在一定的初速度下能够停下来的距离越短机动性越好，另一方面是在某一速度下飞行的四旋翼转弯的曲率越小机动性越好。第一种情况如下图所示，需要注意的是为了有最大的减速度，要将大部分推力用于减速，因此四旋翼的高度会掉下来。
第二种情况如下图所示，要尽量减小$\rho$：
四旋翼在平面的受力分析
推力$u_1$和转矩$u_2$是系统的两个控制量。
通信结构
尺寸的影响
四旋翼的简易结构如下图所示，通常有$r\approx \frac{1}{2}l$，所以有$r\sim l$。
- 质量，转动惯量
物体的质量与体积有关，所以得到$m\sim l^3$，转动惯量$I$又等于$ml^2$，所以推得$I\sim l^5$ - 推力
$$
\begin{aligned}
&F\sim \pi r^2\times(wr)^2=\pi r^2v^2 \\
&\Rightarrow F \sim l^2v^2 \\
&\because a \sim \frac{F}{m}，m\sim l^3 \\
& \therefore a \sim \frac{v^2}{l}
\end{aligned}
$$ - 力矩
$$
\begin{aligned}
&M\sim Fl \Rightarrow M \sim l^3v^2 \\
&\because \alpha \sim \frac{M}{I}，I\sim l^5 \\
&\therefore \alpha \sim \frac {v^2}{l^2}
\end{aligned}
$$
实验结论
经过实验得出了速度$v$与四旋翼大小$l$之间的关系有两种，无论是哪一种关系，都有这个结论，越小的四旋翼机动性越高。
- Froude scaling
这个结论更适用于小型的四旋翼：
$$
\begin{aligned}
&v\sim \sqrt{l}，F\sim l^3 \\
&\Rightarrow a\sim 1， \alpha \sim \frac{1}{l}
\end{aligned}
$$ - Mach scaling
$$
\begin{aligned}
&v\sim 1，F\sim l^2 \\
&\Rightarrow a\sim \frac{1}{l}， \alpha \sim \frac{1}{l^2}
\end{aligned}
$$
