导读

刚体在空间中的运动方式有两种，一种是移动，一种是转动，它们各有3个DOF。对于移动来说，它可以沿着$\hat{X}$轴，$\hat{Y}$轴和$\hat{Z}$轴移动，同样的，转动也可以沿着$\hat{X}$轴，$\hat{Y}$轴和$\hat{Z}$轴进行转动。为了描述刚体在空间中的运动状态，我们通常会在它的质心位置建立一个坐标系（frame）, 通过得到这个坐标系与世界坐标系之间的关系，我们可以知道这个刚体在空间中的姿态。

移动

刚体的移动可以用向量$\vec{P}$来描述，它即明确了移动的方向，又说明了移动的大小。如下图：

因为位置是相对的，为了表明$\vec{P}$是以A frame为基坐标上B frame的位置，我们通常写为$^AP_B org$，其中org指的是B frame的原点，即刚体的质心。

转动

刚体的转动需要用三个向量来描述，因此我们将它写成矩阵的形式，并将这个矩阵称之为旋转矩阵（Rotation Matrix），用$^A_BR$来表示（B frame相对于A frame）。$^A_BR$的三个columns其实是B frame的$\hat{X}$轴，$\hat{Y}$轴以及$\hat{Z}$轴方向的单位向量在A frame下的投影，因此旋转矩阵的三个cloumns的长度都为1。如图：

旋转矩阵的特性

旋转矩阵有如下特性：

$^A_BR$=$^B_AR^T\to$ B对A的旋转矩阵就相当于A对B的旋转矩阵的转置
$^A_BR^T$=$^A_BR^{-1}$=$^B_AR\to$ 旋转矩阵的逆矩阵等于它的转置。这个特性非常有用，因为逆矩阵的计算往往需要很大的计算量，有了这个特性，我们就可以很容易的得到旋转矩阵的逆矩阵。

旋转矩阵的使用

旋转矩阵除了可以描述B frame相对于A frame的姿态以外，也可以计算向量在不同frame下的坐标。比如有一个在B frame下的向量$^BP$，那么它在A frame下的坐标就可以这样得到: $^AP$=$^A_BR$$^BP$
以上的应用都是在已知两个frame的旋转矩阵下进行的，当有一个向量要在同一个frame下沿某个轴转动某个角度时，我们就需要计算出旋转矩阵，计算方式如下：
$$
R_{ {\hat{X} }_A}(\theta)=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & cos\theta & -sin\theta \\
0 & sin\theta & cos\theta
\end{bmatrix}
$$$$
R_{ {\hat{Y} }_A}(\theta) =
\begin{bmatrix}
cos\theta & 0 & sin\theta \\
0 & 1 & 0 \\
-sin\theta & 0 & cos\theta
\end{bmatrix}
$$$$
R_{ {\hat{Z} }_A}(\theta) =
\begin{bmatrix}
cos\theta & -sin\theta & 0 \\
sin\theta & cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
例如有点$^AP$对$\hat{X}_A$轴转动$\theta$角度后得到了点$^AP’$,那么点$^AP’$的坐标就是：$$
^AP’=R_{ {\hat{X} }_A}(\theta)^AP
$$注意：点$^AP’$的坐标是基于{A}的，而不是旋转后的坐标{A’}的。